Zeki Çelik, 17 Şubat 1997’de Bursa’nın Yıldırım ilçesinde doğdu. Futbola da Bursa kulübü Yavuz Selimspor’da başladı. 2009’da Bursaspor altyapısına geçen futbolcu, 2015 yılında Bursaspor ile profesyonel sözleşmeye imza attı. Sağ bek pozisyonunda görev yapan futbolcu, aynı sene Bursa Nilüferspor’a kiralandı. 23 Ağustos 2015’te Bursa Nilüferspor’un Kozan Belediyespor ile oynadığı karşılaşmada ilk profesyonel maçına çıktı. İlk profesyonel sezonunda 3. Lig ekibinin 34 lig maçında da forma giydi.
2016-2017 sezonu öncesinde TFF 2. Lig ekiplerinden İstanbulspor’a transfer oldu. Zeki Çelik, İstanbulspor’daki ilk sezonunda TFF 1. Lig’e yükselme sevinci yaşadı. TFF 1. Lig’de çıktığı ilk maçta Eskişehirspor karşısında, kariyerinin ilk TFF 1. Lig golünü attı. Zeki, İstanbulspor’da gösterdiği performansla A Milli Takım aday kadrosuna da girmeyi başardı. 2018’de A Milli Takım Teknik Direktörü Mircea Lucescu tarafından İrlanda Cumhuriyeti ve Karadağ ile oynanacak özel maçların kadrosunda yer aldı. Futbolcu, ilk milli maçına ise 5 Haziran 2018’de Rusya ile oynanan ve 1-1 sona eren özel karşılaşmada çıktı. Zeki, ay-yıldızlı forma ile iki golü bulunan Zeki, bu golleri 2 Haziran 2019’da Türkiye’nin Antalya’da Özbekistan’ı 2-0 yendiği hazırlık karşılaşmasında attı. Milli futbolcu, 2018-2019 sezonu başında Fransa’nın güçlü ekiplerinden Lille’e transfer oldu. Zeki, 2020-2021 sezonunda Lille ile Fransa Ligue 1 şampiyonluğuna ulaştı ve Fransız ekibinin 10 yıllık şampiyonluk özlemine son veren kadronun önemli bir parçası oldu. Zeki, son 3 sezondur Fransız ekibinin formasını giyiyor.
